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高中数学圆方程教学设计
教学目标
(一)知识目标
1.掌握圆的标准方程:根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径;
2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。
(二)能力目标
1.进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力;
2. 通过教学,使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法,提高学生运算能力、逻辑思维能力;
3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习,培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。
(三)情感目标
通过运用圆的知识解决实际问题的学习,理解理论来源于实践,充分调动学生学习数学的热情,激发学生自主探究问题的兴趣,同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。
教学重、难点
(一)教学重点
圆的标准方程的理解、掌握。
(二)教学难点
圆的标准方程的应用。
教学方法
选用引导?探究式的教学方法。
教学手段
借助多媒体进行辅助教学。
教学过程
Ⅰ.复习提问、引入课题
师:前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑:如何求适合某种条件的点的轨迹?
生:①建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点M的坐标为(x,y);②写出适合某种条件p的点M的集合P={M ?p(M)};③用坐标表示条件,列出方程f(x,y)=0;④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点(一般省略)。[多媒体演示]
师:这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程,今天我们来看圆这种曲线的方程。[给出标题]
师:前面我们曾证明过圆心在原点,半径为5的圆的方程:x2+y2=52 即x2+y2=25.
若半径发生变化,圆的方程又是怎样的?能否写出圆心在原点,半径为r的圆的方程?
生:x2+y2=r2.
师:你是怎样得到的?(引导启发)圆上的点满足什么条件?
生:圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即 ,亦即 x2+y2=r2.
师:x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊:圆心在原点,半径为r.有时圆心不在原点,若此圆的圆心移至C(a,b)点(如图),方程又是怎样的?
生:此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合,
由两点间的距离公式得
即:(x-a)2+(y-b)2= r2
Ⅱ.讲授新课、尝试练习
师:方程(x-a)2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程.
特别:当圆心在原点,半径为r时,圆的标准方程为:x2+y2=r2.
师:圆的标准方程由哪些量决定?
生:由圆心坐标(a,b)及半径r决定。
师:很好!实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见,要确定圆的方程,只需确定a、b、r这三个独立变量即可。
1、 写出下列各圆的标准方程:[多媒体演示]
① 圆心在原点,半径是3 :________________________
② 圆心在点C(3,4),半径是 :______________________
③ 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3):_______________________
2、 变式题[多媒体演示]
① 求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。
答案:(x-1)2 + (y-3)2 =
② 已知圆的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,写出圆心坐标和半径。
答案: C(a,0), r=|a|
Ⅲ.例题分析、巩固应用
师:下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.
[例1] 已知圆的方程是 x2+y2=17,求经过圆上一点P(,)的切线的方程。
师:你打算怎样求过P点的切线方程?
生:要求经过一点的直线方程,可利用直线的点斜式来求。
师: 斜率怎样求?
生:。。。。。。
师:已知条件有哪些?能利用吗?不妨结合图形来看看(如图)
生:切线与过切点的半径垂直,故斜率互为负倒数
半径OP的斜率 K1=, 所以切线的斜率 K=-=-
所以所求切线方程:y-= -(x-)
即:x+y=17 (教师板书)
师:对照圆的方程x2+y2=17和经过点P(,)的切线方程x+y=17,你能作出怎样的猜想?
生:。。。。。。
师:由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P(,)有何关系?
(若看不出来,再看一例)
[例1/] 圆的方程是x2+y2=13,求过此圆上一点(2,3)的切线方程。
答案:2x+3y=13 即:2x+3y-13=0
师:发现规律了吗?(学生纷纷举手回答)
生:分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y,便得到了切线方程。
师:若将已知条件中圆半径改为r,点改为圆上任一点(xo,yo),则结论将会发生怎样的变化?大胆地猜一猜!
生:xox+yoy=r2.
师:这个猜想对不对?若对,可否给出证明?
生:。。。。。。
[例2]已知圆的方程是 x2+y2=r2,求经过圆上一点P(xo,yo)的切线的方程。
解:如图(上一页),因为切线与过切点的半径垂直,故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数
∵半径OP的斜率 K1=,∴切线的斜率 K=-=-
∴所求切线方程:y-yo= - (x-xo)
即:xox+yoy=xo2+yo2 亦即:xox+yoy=r2. (教师板书)
当点P在坐标轴上时,可以验证上面方程同样适用。
归纳总结:圆的方程可看成 x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo 替换,可得到切线方程
[例3]右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20M,拱高OP=4M,在建造时每隔4M需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度。(精确到0.01M)
引导学生分析,共同完成解答。
师生分析:①建系; ②设圆的标准方程(待定系数);③求系数(求出圆的标准方程);④利用方程求A2P2的长度。
解:以AB所在直线为X轴,O为坐标原点,建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上,设为
(0,b),半径为r,那么圆的方程是 x2+(y-b)2=r2.
∵P(0,4),B(10,0)都在圆上,于是得到方程组:
解得:b=-10.5 ,r2=14.52
∴圆的方程为 x2+(y+10.5)2=14.52.
将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程
且取y>0
得:y=
≈14.36-10.5=3.86 (M)
答:支柱A2P2的长度约为3.86M。
Ⅳ.课堂练习、课时小结
课本P77练习2,3
师:通过本节学习,要求大家掌握圆的标准方程,理解并掌握切线方程的探求过程和方法,能运用圆的方程解决实际问题.
Ⅴ.问题延伸、课后作业
(一)若P(xo,yo)在圆(x-a)2+(y-b)2= r2上时,?求过P点的圆的切线方程。
课本P81习题7.7 : 1,2,3,4
(二)预习课本P77~P79
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