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中考数学模拟试题与答案
科学安排、合理利用，在这有限的时间内中等以上的学生成绩就会有明显的提高，为了复习工作能够科学有效，为了做好中考复习工作全面迎接中考，下文为各位考生准备了2016年中考数学模拟试题。
A级 基础题
1.(2013年浙江丽水)若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4)，则该图象必经过点()
A.(2,4) B.(-2，-4) C.(-4,2) D.(4，-2)
2.抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4，则b，c的值为()
A.b=2，c=-6 B.b=2，c=0 C.b=-6，c=8 D.b=-6，c=2
3.(2013年浙江宁波)如图311，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过(3,0)，下列结论中，正确的一项是()
A.abc0 B.2a+b0 C.a-b+c0 D.4ac-b20
4.(2013年山东聊城)二次函数y=ax2+bx的图象如图312，那么一次函数y=ax+b的图象大致是()
5.(2013年四川内江)若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为(0，-3)，则下列说法不正确的是()
A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时，y的最大值为-4 D.抛物线与x轴的交点为(-1,0)，(3,0)
6.(2013年江苏徐州)二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x -3 -2 -1 0 1
y -3 -2 -3 -6 -11
则该函数图象的顶点坐标为()
A.(-3，-3) B.(-2，-2) C.(-1，-3) D.(0，-6)
7.(2013年湖北黄石)若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为__________.
8.(2013年北京)请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式______________.
9.(2013年浙江湖州)已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0)，B(-1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标.
B级 中等题
10.(2013年江苏苏州)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是()
A.x1=1，x2=-1 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=0 D.x1=1，x2=3
11.(2013年四川绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图313，给出下列结论：①2a+b②b③若-1
12.(2013年广东)已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的解析式;
(2)如图314，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标;
(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短?若P点存在，求出P点的坐标;若P点不存在，请说明理由.
C级 拔尖题
13.(2013年黑龙江绥化)如图315，已知抛物线y=1a(x-2)(x+a)(a0)与x轴交于点B，C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线过点M(-2，-2)，求实数a的值;
(2)在(1)的条件下，解答下列问题;
①求出△BCE的面积;
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标.
14.(2012年广东肇庆)已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x10
(1)求证：n+4m=0;
(2)求m，n的值;
(3)当p0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值.
15.(2013年广东湛江)如图316，在平面直角坐标系中，顶点为(3,4)的抛物线交y轴于A点，交x轴与B，C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0，-5).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明;
(3)在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形.若存在，求点P的坐标;若不存在，请说明理由.
参考答案
1.A
2.B 解析：利用反推法解答， 函数y=(x-1)2-4的顶点坐标为(1，-4)，其向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数y=x2+bx+c，又∵1-2=-1，-4+3=-1，平移前的函数顶点坐标为(-1，-1)，函数解析式为y=(x+1)2-1，即y=x2+2x，b=2，c=0.
3.D 4.C 5.C 6.B
7.k=0或k=-1 8.y=x2+1(答案不唯一)
9.解：(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0)，B(-1,0)，
抛物线的解析式为y=-(x-3)(x+1)，
即y=-x2+2x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
抛物线的顶点坐标为(1,4).
10.B 11.①③④
12.解：(1)将点O(0,0)代入，解得m=1，
二次函数关系式为y=x2+2x或y=x2-2x.
(2)当m=2时，y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
D(2，-1).当x=0时，y=3，C(0,3).
(3)存在.接连接C，D交x轴于点P，则点P为所求.
由C(0,3)，D(2，-1)求得直线CD为y=-2x+3.
当y=0时，x=32，P32，0.
13.解：(1)将M(-2，-2)代入抛物线解析式，得
-2=1a(-2-2)(-2+a)，
解得a=4.
(2)①由(1)，得y=14(x-2)(x+4)，
当y=0时，得0=14(x-2)(x+4)，
解得x1=2，x2=-4.
∵点B在点C的左侧，B(-4,0)，C(2,0).
当x=0时，得y=-2，即E(0，-2).
S△BCE=1262=6.
②由抛物线解析式y=14(x-2)(x+4)，得对称轴为直线x=-1，
根据C与B关于抛物线对称轴x=-1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求.
设直线BE的解析式为y=kx+b，
将B(-4,0)与E(0，-2)代入，得-4k+b=0，b=-2，
解得k=-12，b=-2.直线BE的解析式为y=-12x-2.
将x=-1代入，得y=12-2=-32，
则点H-1，-32.
14.(1)证明：∵二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，
抛物线的对称轴为x=2，即-n2m=2，
化简，得n+4m=0.
(2)解：∵二次函数y=mx2+nx+p与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x10
OA=-x1，OB=x2，x1+x2=-nm，x1x2=pm.
令x=0，得y=p，C(0，p).OC=|p|.
由三角函数定义，得tanCAO=OCOA=-|p|x1，tanCBO=OCOB=|p|x2.
∵tanCAO-tanCBO=1，即-|p|x1-|p|x2=1.
化简，得x1+x2x1x2=-1|p|.
将x1+x2=-nm，x1x2=pm代入，得-nmpm=-1|p|化简，得n=p|p|=1.
由(1)知n+4m=0，
当n=1时，m=-14;当n=-1时，m=14.
m，n的值为：m=14，n=-1(此时抛物线开口向上)或m=-14，n=1(此时抛物线开口向下).
(3)解：由(2)知，当p0时，n=1，m=-14，
抛物线解析式为：y=-14x2+x+p.
联立抛物线y=-14x2+x+p与直线y=x+3解析式得到-14x2+x+p=x+3，
化简，得x2-4(p-3)=0.
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，
一元二次方程根的判别式等于0，
即=02+16(p-3)=0，解得p=3.
y=-14x2+x+3=-14(x-2)2+4.
当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4.
15.解：(1)设此抛物线的解析式为y=a(x-3)2+4，
此抛物线过点A(0，-5)，
-5=a(0-3)2+4，a=-1.
抛物线的解析式为y=-(x-3)2+4，
即y=-x2+6x-5.
(2)抛物线的对称轴与⊙C相离.
证明：令y=0，即-x2+6x-5=0，得x=1或x=5，
B(1,0)，C(5,0).
设切点为E，连接CE，
由题意，得，Rt△ABO∽Rt△BCE.
ABBC=OBCE，即12+524=1CE，
解得CE=426.
∵以点C为圆心的圆与直线BD相切，⊙C的半径为r=d=426.
又点C到抛物线对称轴的距离为5-3=2，而2426.
则此时抛物线的对称轴与⊙C相离.
(3)假设存在满足条件的点P(xp，yp)，
∵A(0，-5)，C(5,0)，
AC2=50，
AP2=(xp-0)2+(yp+5)2=x2p+y2p+10yp+25，CP2=(xp-5)2+(yp-0)2=x2p+y2p-10xp+25.
①当A=90时，在Rt△CAP中，
由勾股定理，得AC2+AP2=CP2，
50+x2p+y2p+10yp+25=x2p+y2p-10xp+25，
整理，得xp+yp+5=0.
∵点P(xp，yp)在抛物线y=-x2+6x-5上，
yp=-x2p+6xp-5.
xp+(-x2p+6xp-5)+5=0，
解得xp=7或xp=0，yp=-12或yp=-5.
点P为(7，-12)或(0，-5)(舍去).
②当C=90时，在Rt△ACP中，
由勾股定理，得AC2+CP2=AP2，
50+x2p+y2p-10xp+25=x2p+y2p+10yp+25，
整理，得xp+yp-5=0.
∵点P(xp，yp)在抛物线y=-x2+6x-5上，
yp=-x2p+6xp-5，
xp+(-x2p+6xp-5)-5=0，
解得xp=2或xp=5，yp=3或yp=0.
点P为(2,3)或(5,0)(舍去)
综上所述，满足条件的点P的坐标为(7，-12)或(2,3).
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