北师大九年级下册数学期中考试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.在直角三角形 中，如果各边长度都扩大到原来的2倍，则锐角 的正弦值和正切值（ ）
A.都缩小到原来的 B.都扩大到原来的2倍
C.都没有变化 D.不能确定
2.如，菱形 的对角线 =6， =8，∠ = ，则下列结论正确的是（ ）
A.sin = B.cos = C.tan = D.tan =
3.如，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶ ，堤高BC=10 m，则坡面AB的长度是（ ）
A.15 m B.20 m C.20 m D.10 m
4.如，在△ 中， =10，∠ =60°，∠ =45°，则点 到 的距离是（ ）
A.10-5 B.5+5 C.15-5 D.15-10
5.（2015贵州铜仁中考）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=- ，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为（ ）
A.-20 m B.10 m C.20 m D.-10 m
6.用配方法将函数 = 2-2 +1写成 = ( - )2+ 的形式是（ ）
A. = ( -2)2-1 B. = ( -1)2-1
C. = ( -2)2-3 D. = ( -1)2-3
7.如所示，二次函数 = 2-4 +3的象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，则△ 的面积为（ ）
A. B. C. D. 第7题
8.上午9时，一船从 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30 分到达 处，如所示，从 ， 两处分别测得小岛 在北偏东45°和北偏东15°方向，那么 处与小岛 的距离为（ ）
A.20海里 B.20 海里
C.15 海里 D.20 海里
9.函数 的部分象与 的交点分别为A（1，0），B（0，3），对称轴是 ，在下列结论中，错误的是（ ）
A.顶点坐标为（-1，4）
B.函数的表达式为
C.当
D.抛物线与 轴的另一个交点是（-3，0） 第8题
10. （2015山东潍坊中考）已知二次函数y= +bx+c+2的象如所示，顶点为
(-1，0)，下列结论：
①abc<0；② -4ac="0；③a">2；④4a-2b+c>0.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C. 3 D.4 第10题
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.在离旗杆20 m的地方用测角仪测得旗杆杆顶的仰角为 ，如果测角仪高1.5 m，那么旗杆的高为________m.
12.如果sin = ，则锐角 的余角是__________.
13.（湖北襄阳中考）如，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为 m.（结果保留根号）
14.如，在离地面高度为5 m的 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成 角， 则拉线 的长为__________m(用 的三角函数值表示).
15.中阴影部分的面积相等的是 .
第15题
16.如，已知抛物线 经过点（0，－3），请你确定一个 的值使该抛物线与 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的 的值是 ．
第18题
17.某涵洞是抛物线形，它的截面如所示，现测得水面宽 =1.6 m，涵洞顶点 到水面的距离为2.4 m，在中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是___________.
18.（2015山东潍坊中考）观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如，一人先在附近一楼房的底端Ａ点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m.
三、解答题（共66分）
19.(7分)计算:6tan230°－cos 30°tan 60°－2sin 45°+cos 60°.
20.(7分)如，李庄计划在山坡上的 处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知 到水池 处的距离 是50米，山坡的坡角∠ =15°，由于受大气压的.影响，此种抽水泵的实际吸水扬程 不能超过10米，否则无法抽取水池中的水， 试问抽水泵站能否建在 处?
第20题 第21题
21.(8分)如，有一座抛物线形拱桥，桥下面正常水位时AB宽20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m.
(1)在如所示的平面直角坐标系中求抛物线的表达式.
(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶?
22.(8分)某电视塔 和楼 的水平距离为100 m，从楼顶 处及楼底 处测得塔顶 的仰角分别为45°和60°，试求楼高和电视塔高(精确到0.1 m).
第22题
23.(8分)如所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约 .铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4 m处(即 m)达到最高点，最高点高为3 m.已知铅球经过的路线是抛物线，根据示的直角坐标系，你能算出该运 动员的成绩吗?
24.（8分）（2015广东珠海中考）已知抛物线y=a bx+3的对称轴是直线x=1.
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于x的方程a +bx-8＝0的一个根为4，求方程的另一个根.
25.(10分)如，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1 100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是60°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是45°，求两海岛间的距离AB.
26.（10分）（杭州中考）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2-（4k+1）x-k+1（k是实数）.
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.
学生思考后，黑板上出现了一些结论，教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：
①存在函数，其象经过（1，0）点；
②函数象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当x>1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数.
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法.
参考答案
一、选择题
1.C 解析：根据锐角三角函数的概念知:如果各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角 的各三角函数没有变化．故选C．
2.D 解析：菱形 的对角线 =6， =8，
则 ⊥ ，且 =3， =4．
在Rt△ 中，根据勾股定理得 =5，
则sin = ，cos = ，tan = ，故选D．
3. C 解析：在Rt△ABC中，BC=10 m，tan A=1∶ .
∴ AC=BC÷tan A=10 （m），
∴ AB= =20（m）.
4.C 解析：如，过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ 中，∠ =60°，∴ = ．
在Rt△ 中，∠ =45°，∴ = . 第4题答
∵ BC=BD+CD,BC=10，∴ 10= + ,解得 =15﹣5 ．
故选C．
5. C 解析：已知OD=4 m，故点B的纵坐标为-4．
设点B的坐标为（x,-4）.把y=-4代入y=- ，得x=10（负值舍去）．
即水面宽度AB为20 m．
6.A 解析： = 2﹣2 +1= （ 2﹣4 +4）﹣2+1= （ ﹣2）2﹣1.故选A．
7.C 解析：由表达式 = 2-4 +3=（ -1）（ -3），
则与 轴交点坐标为 （1，0）， （3，0）.
令 =0，得 =3，即 （0，3）.
∴ △ 的面积为
8.B 解析：如，过点 作 ⊥ 于点 ． 第8题答
根据题意，得 =40× =20（海里），∠ =105°．
在Rt△ 中， = 45°=10 （海里）．
在Rt△ 中，∠ =60°，则∠ =30°，
所以 =2 =20 （海里）．故选B．
9. C 解析：将A（1，0），B（0，3）分别代入表达式,得
解得 则函数表达式为 .
将 =-1代入表达式可得其顶点坐标为（-1，4）.
当 =0时可得 ，
解得
可见，抛物线与 轴的另一个交点是（-3，0）.
当 ＜-1时， 随 的增大而增大．
可见，C答案错误．故选C．
10.Ｂ 解析：∵ 函数象开口向上，∴ a＞0.
又∵ 顶点为（-1,0），∴ - =-1，∴ b=2a＞0.
由抛物线与y轴的交点坐标可知:c+2＞2，∴ c＞0，∴ abc＞0，故①错误.
∵ 抛物线顶点在x轴上，∴ -4a（c+2）=0,故②错误.
∵ 顶点为（-1,0），∴ a-b+c+2=0.
∵ b=2a, ∴ a=c+2. ∵ c＞0, ∴ a＞2,故③正确.
由抛物线的对称性可知x=-2与x=0时函数值相等，∴ 4a-2b+c+2＞2,
∴ 4a-2b+c＞0,故④正确.
二、填空题
11.（1.5+20tan ） 解析：根据题意可得：旗杆比测角仪高20tan m，测角仪高1.5 m，
故旗杆的高为（1.5+20tan ）m．
12.30° 解析：∵ sin = ， 是锐角，∴ =60°．
∴ 锐角 的余角是90°﹣60°=30°．
13.(5+5 ) 解析：过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△BCE中，BE=CD=5 m，
CE= =5 m.
在Rt△ACE中，AE=CEtan 45°=5 m，
AB=BE+AE=（5+5 ）m.
点拨：本题考查了仰角、俯角问题的应用，要求能借助仰角或俯角构造直角三角形，并通过解直角三角形求解．
14. 解析：∵ ⊥ 且 =5 m，∠CAD= ，
∴ = (m)．
15.②③ 解析：①中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；
②中直线y=-x+2与坐标轴的交点坐标为（2，0），（0，2），故S阴影= ×2×2=2；
③中的函数是反比例函数，阴影部分的面积为S= xy= ×4=2；
②③的面积相等.
④中，抛物线与坐标轴交于（-1，0），（1，0），（0，-1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S= ×2×1=1.
点拨：解答本题首先根据各形的函数表达式求出函数与坐标轴交点的坐标，求得各个阴影部分的面积，进而可比较出各阴影部分面积的大小关系，熟练掌握各函数的象特点是解决问题的关键．
16. （答案不唯一） 解析：由题意可知 要想抛物线与 轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，只需 和 异号即可，所以
17. = 2 解析：设函数表达式为 = 2（a≠0），
点 坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），
则有﹣2.4=（﹣0.8）2 ，
即 =﹣ ，即 =﹣ 2．
18. 135 解析：在Rt△ABD中，∠BAD=90°, = ,
∵ ∠ADB=30°，AB=45 m,∴ = ,∴ AD=45 m.
在Rt△ADC中，∠ADC=90°, = ,
∵ ∠CAD=60°，AD=45 m, ∴ = ,∴ DC=135 m.
三、解答题
19.解：原式= .
20.解：∵ =50米，∠ =15°，
又sin∠ = ，
∴ = sin∠ = 50sin 15°≈13(米) 10米，
故抽水泵站不能建在 处.
21.解：设其函数表达式为 = 2（a≠0），设拱桥顶到警戒线的距离为 m，
则 点坐标为(-5， - ， 点坐标为(-10，- -3)，
故有 解得
所以， (1)抛物线的表达式为 = 2.
(2)1÷0.2=5(h).
22.解：设 = m，∵ =100 m，∠ =45°，
∴ tan 45°=100 m.∴ =(100+ )m.
在Rt△ 中，∵∠ =60°，∠ =90°，
∴ tan 60°= ，
∴ = ，即 +100=100 ， =100 -100 73.2(m)，
即楼高约为73.2 m，电视塔高约为173.2 m.
23．解:能.∵ OC=4 m,CD=3 m，∴ 顶点 坐标为(4，3).
设 +3（a≠0），把 代入上式，得 ，
∴ ，
∴ 即 .
令 ，得 ∴ (舍去)， [来源:Z§xx§k.Com]
故该运动员的成绩为 .
24.（1）证明：由抛物线y=a +bx+3的对称轴为x=1得，
＝1.∴ 2a+b=0.
（2）解：因为抛物线y=a +bx-8与y=a +bx+3有相同对称轴x=1，
且方程a +bx-8=0的一个根为4.
设a +bx-8=0的另一个根 ，则满足：4+ = .
∵ 2a+b=0,即b=-2a,
∴ 4+ =2，∴ =-2.
25.分析：首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，连接AB,易得四边形ABFE为矩形.根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF.由题意可知：AE=BF=1 100-200＝900(米)，CD=1.99×104米，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得两海岛间的距离.
解：如，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD，交CD的延长线于点F，连接AB.∵ AB∥CD,
∴ ∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，∴ 四边形ABFE为矩形，∴ AB=EF，AE=BF.
由题意可知：AE=BF=1 100-200=900(米)，
CD=1.99×104米＝19 900米.
∴ 在Rt△AEC中，∠C=60°,AE=900米,
∴ CE= = =300 （米）.
在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=900米，
∴ DF= = =900（米）.
∴ AB=EF=CD+DF-CE=19 900+900-300 =20 800-300 （米）.
答：两海岛之间的距离AB是(20 800-300 ）米.
点拨：此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是求解此题的关键，注意数形结合思想的应用.
26.分析：①把x=1，y=0代入函数表达式，存在k值即可.②需要考虑函数是一次函数的情况.③分k=0，k<0，k>0三种情况进行讨论.④由题意知k≠0，分k<0，k>0两种情况进行讨论.
解：①真命题，当k=0时，y=2kx2-（4k+1）x-k+1=-x+1，此时象经过点（1，0）.
②假命题，如①当k=0时，y=-x+1,y为关于x的一次函数,此时象与坐标轴有两个交点.
③假命题，分情况讨论：当k=0时，y=-x+1，在x>1时，y随x的增大而减小；当k<0时，二次函数的象开口向下，对称轴为x=1+ <1，由象可知，在x>1时，y随x的增大而减小；当k>0时，二次函数的象开口向上，对称轴为x=1+ >1，所以在1<x≤1+ 时，y随x的增大而减小，在x＞1+ 时，y随x的增大而增大.
综上，当k>0时，结论不成立.
④真命题，若函数有最值，则必然是二次函数，此时k≠0，Δ=24k2+1>0，二次函数的象与x轴有两个交点.当取得最大值时，二次函数的象开口向下，最大值必为正数；当取得最小值时，二次函数的象开口向上，最小值必为负数.所用到的数学方法：数形结合思想、方程思想等.
点拨：本题是关于二次函数象与性质的辨别是非题，掌握二次函数的象与性质并分类讨论是解题的关键.
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