初中数学学业水平考试中考点分析和探讨
一、问题提出
《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》（以下简称《标准》）呈现了三维目标（知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观），[1]这就决定了初中阶段结束时学业考试的试题框架设计中不仅要体现对原有知识技能考核的要求，还要体现出对过程方法考核的要求.要达到全面、准确地反映初中毕业生学科学习所达到水平的目的，学业考试作为测量的一种工具，如何合理、有效地测量学生在“过程与方法”方面所达到的水平，对我们来说是较陌生的领域，对于目前命题及相关技术的运用是一个挑战.
在《标准》中，对于初中阶段，就“过程与方法”目标分两部分做出描述，一是过程经历，二是能力培养与方法习得.其中对于过程经历，《标准》分别从代数、几何、数据整理及概率统计三个方面进行描述.
代数部分有如下表述：经历采用观察、画图或计算器等手段估计方程解以及利用等式性质和运算率探求方程解的过程，经历利用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界中一类数量关系和探求未知量的有效数学模型.经历建立函数关系的过程，体会函数是反映两个变量相互依赖关系的数学模型，是揭示两个变量变化规律的有效工具.
对于代数部分过程经历的描述，充分利用“经历”“体验”“探索”“体会”等行为动词，体现出对教与学的行为要求和教学实施的过程要求，体现了对学生学习过程的相关要求.但如何将其转化为在学业水平考试中相应可操作的考核要求仍是问题.
《标准》将过程经历在不同的数学知识内容层面进行了分别描述，面对目前数学学业水平考试中相关试题往往会出现不同知识内容领域的综合情况，如何解释相关“过程”的要求？对于在能力培养与方法习得部分，《标准》对如逻辑推理能力、运算能力、空间观念等能力进行了简要的描述，但没有进一步细化为在具体“过程”中如何体现，即能力培养与方法习得和过程经历两部分之间没有建立清晰而明确的联系，因此，给学业水平考试命题带来了很多困难（如何体现能力，如何清晰表现过程等）的同时，也反映出目前《标准》对评价操作层面在指导作用上存在着不足，至少在“过程”目标维度上是如此.
鉴于上述《标准》在“过程与方法”目标上的确立和要求给学业水平考试操作上带来的挑战和困难，我们有必要来借鉴其他国家甚至一些国际上大型的测试项目的成功经验.在本文中，我们通过分析学业水平考试及PISA（国际学生评价项目）数学部分对“过程”的考查，指出在目前国内初中数学学业水平考试中，在“过程”体现方面需要进一步思考的地方.
二、数学学业水平考试中对于“过程和方法”的考核及运用
1.“过程和方法”考核框架构建与思考
目前整个数学学业水平考试测试框架如下页图1所示，由“知识与技能”和“过程与方法”两部分构成，呈现出两维的框架结构.在“知识和技能”部分，主要考查五个内容领域：数与运算、代数与方程、函数与分析、数据整理与概率统计、图形与几何；在“过程与方法”部分，主要考查学生的逻辑推理能力、运算能力、空间观念、解决简单问题的能力.
应该说在目前的数学学业水平考试框架中，对于过程维度的体现主要表现在对相关能力的考查上.在考试手册中，没有对“过程”的相关内容进行描述，一定层面上简化了《标准》中对“过程”的理解，从测量角度，将过程体现与能力考查做了等同.
2.试题例举
例1 “创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图2所示）.已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆0的半径0C所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是0D与圆0的交点.
（1）请你帮助小王在图3中把图形补画完整；
（2）由于图纸中圆0的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i=1∶0.75是坡面CE的坡度），求r的值.
参考答案及评分标准：
（1）图形正确.……………………（赋分点）
测量目标：第（1）问考查基础知识和基本技能、解决简单问题的能力；第（2）问考查基础知识和基本技能、运算能力、空间观念、解决简单问题的能力.
考试内容：代数与方程，图形与几何.
本题是某年初中学业水平考试数学试卷的一道试题.试题题干赋予一个生活实际情境，整道试题着重考查学生解决问题的能力.从试题的赋分分布分析，赋分点更多注意了考核知识领域的分布，但赋分点在体现考核的能力指向上模糊，更谈不上明确地指向考核能力的相应要求层次.从赋分的角度可以看出，在考核“过程”维度上，考核的可操作性不强.
三、PISA数学测试对于“过程”的认识
1.对于“过程”的理解
在数学领域，PISA测试学生的数学素养，关心的是学生遇到各种情境的问题，在“数学化（mathematise）”过程中，学生分析、说理和交流的能力.
在PISA数学测试中，将数学内容、过程、情境作为测试框架中最重要的三个部分.其中对于过程，指的`是“数学化（mathematise）”的过程，它包括：（1）现实情境中问题的提出；（2）将问题与相应的数学概念联系；（3）通过假设或概括，将现实问题转化为数学问题；（4）解决数学问题；（5）反思，使得数学问题解决的结果符合现实情境，如图4所示.[2]
2.关于“过程”考核框架的构建
在PISA数学测试框架中，主要由三个部分组成，其中主要的部分就是对“过程”的考核，具体如下：
数学内容：包括四个部分——数量、空间和图形、变化和联系、不确定性.
过程：针对数学化过程中不同的阶段可能需要不同的能力（competency），为了明确和考查这些能力，PISA在数学测试中列出了八个能力：思考和推理（thinking and reasoning），论证（argumention）、交流（communication），建模（modeling），问题的形成和解决（problem posing and solving），表征（representation），使用符号化、形式化的和技术性的语言和操作（using symbolic formal and technical language and operations）及计算，工具的使用（use of aids and tools），这些能力的特征、表现形式，PISA借鉴了Niss[3]的工作.
PISA意识到这些数学能力不能人为地被分割到不同的试题中，针对某道数学试题，假设一定范围内的能力得到了应用，PISA根据思维过程中不同的能力认知活动层面定义了三个“能力群”：再现能力群（reproduction cluster）、联系能力群（connections cluster）和反思能力群（reflection cluster），八个能力在不同的能力群上有不同的表现要求，具体表现见文[4].
PISA数学测试中，通过试题在不同能力上的要求，针对上述三个不同能力群的描述，尽可能地将设计试题划归到某个能力群中.虽然试题可能仍存在不同的能力要求，但是保证了试题在整个能力群上的归类.具体的方法是，分析试题的认知要求和学生在小规模先导性测试（small scale pre-pilot）的应答情况，评估试题在八个能力上的表现，如果每一个能力表现都吻合再现能力群中能力的表现，则该试题被划归为再现能力群；如果每一个能力表现都吻合反思能力群中相应能力的表现，则该试题被划归为反思能力群，除此之外，试题被划归为联系能力群.这也可以避免在试题赋分过程中能力指向不明，同时也是保证能力层次要求的体现.
情境：由于数学素养关注学生在各种问题情境中解决问题过程的能力，问题的情境作为问题解决的刺激材料，体现一个“真实性”的特征，激活相关数学知识和能力是很重要的一个方面.PISA根据与学生生活实际的远近，提供了四种类型的情境：个人情境（personal），教育或职业情境（educational and occupational），公共情境（public），科学情境（scientific）.这些情境的设置和有效体现，有利于过程考核中学生认知水平真实、充分地体现.
上述这三个部分的联系结构图如下.
其中问题呈现形式是指试题呈现的题型及题干材料的不同呈现方式，如表格、图形、图象等.
3.试题例举
例2 南极洲的面积[5].
如图5，请你根据地图上的比例尺，估计南极洲的实际面积.要求：显示你的工作痕迹，并解释你是如何估计的（如果你认为对你的估计有帮助，可以在地图上画）.
本题考核的能力层次为联系能力群：考核的内容为空间和图形；情境属于个人情境范畴.本题属于开放型试题，其赋分采用双位编码形式，首位给出了学生应得的分数，末位则按照学生在解决给定问题的过程中所使用的策略或是按照阻碍学生得出正确解决方案的错误概念给出特定代码，这种赋分方式有利于后期数据分析的进行以及最终评价结果报告的生成（具体评分标准略）.
四、分析与思考
1.在测量中，需要加强对“过程”的学科理解
无论是初中数学学业水平考试的框架，还是PISA数学测试相应部分的框架，都注重在能力上的考核.然而在“过程”的体现上，学业水平考试将能力的体现与“过程”的表现等同，PISA数学测试将考核能力围绕“数学化”过程的各个阶段展开，体现出在能力考查中的连接作用.
学业水平考试没有明确给出“过程”的描述或界定，将“过程”的体现默认为能力的体现，将四种能力（运算能力、空间观念、逻辑推理能力、解决简单问题的能力）的表现作为考核“过程”的重心；对照PISA数学测试，“数学化”的过程，描述出了问题解决过程中各个阶段运用的模型.这个模型既体现出了问题解决的过程，也体现出学生的认知过程.应该说，PISA数学测试对于“数学化”过程模型的清晰描述为能力的考核提供了平台，为试题在能力考查上的设计和开发提供了支撑点，起到基石的作用.这实际上也明确回答了一个问题，通过能力的考查在哪些方面或哪些阶段需要体现出对“过程”的要求.显然对于“过程”的理解，不仅是《标准》的需要，更是能力考查的根本.在这方面初中数学学业水平考试框架没有很好地体现出对于“过程”的理解.
2.在“过程”考查中，能力的体现要更加有助于提升试题的有效性
对于“过程”在测试系统中的不同理解，决定了在具体试题编制后产生不同的结果.
《标准》中针对学科中不同的内容领域来描述“过程经历”，强调知识体系自身的发展脉络过程，所以命题的具体操作性不强，初中数学学业水平考试，将“过程”简化成等同于四个能力的考查.但是，这个简化带来的直接结果就是除了在试题命制上对于能力的体现比较随意，使得命题人员不易控制，除了控制知识分布的局面之外，由于试题的解答过程可能需要学生表现出的不仅仅是一种能力，所以就给赋分带来挑战，即必须明确所赋的分值所指向的具体能力，同时不同的分值应该明确对应不同层次的能力.从例1的赋分情况看，显然没有很好地解决上述问题.在学业水平考试中，将“过程”过分简化成四大能力的考查，既给命题操作带来困难，同时也直接影响了试卷的考核效度.
在PISA数学测试中，基于对“数学化”过程的理解，要求体现学生在问题解决的不同阶段的能力表现，在明确考核八个能力的同时，进一步界定八个能力在三个能力群上的不同表现，既体现出学生在问题解决阶段中整体能力的层次性，又有利于试题解答的相应赋分.从例2我们看到完全不同于初中学业水平考试的赋分方式，这种赋分虽然不能明确指向具体的能力，但是充分体现出具体的能力群的要求，有效体现出对能力层次的要求.这也使得学生在试题得分的可解释程度得到了有力的保证，特别是对于能力层次的解释得到了极大的保证.
3.“过程”考核框架的制定要更注意操作的可行性
在上述对学业水平考试及PISA数学测试对“过程”的分析中，从框架的制定到试题的呈现，看到了框架对试题成型的指导作用，体现出了对相关框架的可操作程度的关注.
学业水平考试的目的是全面、准确地反映初中毕业生学科学习所达到的水平.对于数学学科，学生对于基本概念的理解以及问题解决 过程中认知过程及水平层次的体现是数学学科学业水平考试的重点.对于“过程”维度体现学生的水平层次，主要体现在框架中考核的能力层次上，这是学业水平考试和PISA数学测试都关注的地方.然而就目前学
水平考试“过程”维度考核框架而言，没有体现出能力水平层次要求及相应具体表现，这直接导致针对考试目的，在操作层面的能力水平层次的评价缺乏足够的依据和标准；而在这方面，PISA数学测试通过能力群（再现能力群、联系能力群、反思能力群）的构建，体现出了能力的层次性，这也有助于在相应试题的命制中，能力层次的体现不仅是测试目标的需要，也是具体操作中一个可行的步骤.
综上所述，针对课程标准中对于“过程”的描述和要求，在实际学业水平考试框架制定中将“过程”等同于针对能力方面的测试，这种简化对从根本上真正确立有效的、可供操作的考核框架没有帮助，这也直接影响了试题的编制、评分标准的制定，甚至是分数的解释程度.比较PISA数学测试“过程”的理解和框架，现有框架虽然是在众多工作的基础上建立起来的，但仍存在不足，需要我们进一步研究.
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