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考研数学(四)试题及答案(完全修正版)
在平时的学习、工作中，我们都不可避免地要接触到试题，试题有助于被考核者了解自己的真实水平。大家知道什么样的试题才是规范的吗？下面是小编精心整理的考研数学(四)试题及答案(完全修正版)，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
1.若xy0，则对 xy+yx说法正确的是()
A.有最大值-2 B.有最小值2
C.无最大值和最小值 D.无法确定
答案：B
2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()
A.400 B.100
C.40 D.20
答案：A
3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值___。
答案：2 4
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)当x0时，求f(x)的最小值;
(2)当x0 时，求f(x)的最大值.
解：(1)∵x0，12x，4x0.
12x+4x212x4x=83.
当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，
当x0时，f(x)的最小值为83.
(2)∵x0，-x0.
则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，
当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.
当x0时，f(x)的最大值为-83.
一、选择题
1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()
A.x+12x B.x2-1+1x2-1
C.2x+2-x D.x(1-x)
答案：C
2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()
A.32-3 B.-3
C.62 D.62-3
解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.
3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()
A.200 B.100
C.50 D.20
解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.
4.给出下面四个推导过程：
①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba
②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx
③∵aR，a0，4a+a 24a
④∵x，yR，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.
其中正确的推导过程为()
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑.
①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确;
②虽然x，y(0，+)，但当x(0，1)时，lgx是负数，y(0，1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;
③∵aR，不符合基本不等式的条件，
4a+a24aa=4是错误的;
④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx在提出负号后，(-xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.
5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()
A.2 B.22
C.4 D.5
解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.
6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()
A.最大值64 B.最大值164
C.最小值64 D.最小值164
解析：选C.∵x、y均为正数，
xy=8x+2y28x2y=8xy，
当且仅当8x=2y时等号成立.
xy64.
二、填空题
7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为_______。
答案：1
8.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为_______。
解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.
答案：大 116
9.(2010年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为_______。
解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.
当且仅当x3=y4时取等号.
答案：3
三、解答题
10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;
(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.
解：(1)∵x-1，x+10.
y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5
2 x+14x+1+5=9，
当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.
x=1时，函数的最小值是9.
(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1
=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.
(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.
当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，
y有最小值8.
11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.
证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，
1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，
同理1b-12acb，1c-12abc，
以上三个不等式两边分别相乘得
(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.
当且仅当a=b=c时取等号.
12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).
问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.
总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200
=800(x+225x)+12000
1600x225x+12000
=36000(元)
当且仅当x=225x(x0)，
即x=15时等号成立。
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