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高二数学理科期末试题级答案
一.选择题(共12题,每题5分)
1.复数 (其中 为虚数单位)的虚部是( )
A. B. C. D.
2. 已知 , .若 是 的必要不充分条件,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15:3:2.为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为 的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量 为( )
A.20 B.30 C.40 D.80
4.已知直线 平面 ,直线 平面 ,给出下列命题：
① ∥ ; ② ∥ ; ③ ∥ ④ ∥ ;
其中正确命题的序号是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③ D.②④
5. 下列说法正确的是( )
A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题
B.“ ”是“ ”的必要不充分条件
C. 命题“ ”的否定是“ ”
D. 命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
6.设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如右图，已知 为如图所示的程序框图输出结果，二项式 的
展开式中含有非零常数项，则正整数 的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8.先后掷骰子(骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点)两次落在水平桌面后，记正面朝上
的点数分别为 ，设事件 为“ 为偶数”，事件 为“ 中有偶数，且 ”，则概率
=( )
A. B. C. D.
9.已知 展开式的二项式系数的最大值为 ，系数的最大值为 ，则 =( )
A. B. C. D.
10.有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊
花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是( )
A.1 2 B.24 C.36 D.48
甲 茎 乙
5 7 1 6 8
8 8 2 2 3 6 7
11. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如右图所示. 设 分
别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, 分别
表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有( )
A. , B. ，
C. ， D. ，
12.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， ⊥平面 ， ， ，
， ，则球 的表面积为( )
A. B. C. D.
二.填空题(共4题,每题5分)
13.袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸3次，3次摸到的红球比白球多1次的概率为___________________.
14. 设 为正整数, ，经计算得 ， ,
，……观察上述结果，对任意正整数 ，可推测出一般结论是____________ .
15. 向面积为 的 内任投一点 ，则 的面积小于 的概率为 .
16.如图，在直三棱柱 中， ，点
是线段 上的一点，且 ， ，则点 到平面
的距离为_______.
三.解答题(共6题,共70分)
17. (本小题满分10分)
某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利润 (元)与该周每天销售这种服装件数
之间有如下一组数据：
3 4 5 6 7 8 9
66 69 73 81 89 90 91
已知 .
(1)求 ; (2)求纯利润 与每天销售件数 之间的回归方程.
(参考公式： )
18.(本小题满分12分)
我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0-50为优秀，各类人群可正
常活动.环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为 ， ， ， ，由此得到本的空气质量指数频率分布直方图，如图.
(1) 求 的值;
(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值;
(3) 如果空气质量指数不超过 ，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取 天的数值，其中达到“特优等级”的天数为 ，求 的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图三棱柱 中，侧面 为菱形， .
(1) 证明： ;
(2)若 ， ， ,
求二面角 的余弦值.
20.(本小题满分12分)
某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：
组别 理科 文科
性别 男生 女生 男生 女生
人数 4 4 3 1
学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有.
(Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率;
(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 .
21.(本小题满分12分)
如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图. 在直观图中， , 是
的中点. 侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.
(1)在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据;
(2)求证： ∥平面 ;
(3)试问在边 上是否存在点 ，使 ⊥平面 . 若存在，确定点 的位置;若不存在，
请说明理由.
22.(本小题满分12分)
设直线 与椭圆 相交于 两个不同的点，与 轴相交于点 ，记 为坐标原点.
(1)证明： ;
(2)若 , 求△ 的面积取得最大值时的椭圆方程.
高二理科数学答案
一.选择题
CACDD CBBAB BD
二.填空题
13. 14. 15. 16.3
三.解答题
17.(1)
(2)
18.(1) 解：由题意，得 ， ……………1分
解得 . ……………2分
(2)解： 个样本中空气质量指数的平均值为
……………3分
由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 . …………4分
(3)解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在 内为“特优等级”，
且指数达到“特优等级”的概率为 ，则 ………5分
的取值为 ， ………6分
， ，
， . ……………10分
1 2
P
∴ 的分布列为：
……11分
∴ . ………12分
(或者 )
19. (Ⅰ)连结 ，交 于 ，连结 .因为侧面 为菱形，所以 ，
且 为 与 的中点.又 ，所以 平面 ，故 又 ，故 ……… 4分
(Ⅱ)因为 且 为 的中点，所以
又因为 ，所以 .
故 ，从而 , 两两互相垂直.
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 . 因为 ，所以 为等边三角形.又 ，则
， ， ，
，
设 是平面的法向量，则
， 即 所以可取
设 是平面的法向量，则 ， 同理可取
则 ，所以二面角 的余弦值为 . 12分
20. 解：(Ⅰ) (4分)
(Ⅱ) 由题意得 ，于是 的分布列为
0 1 2 3
(只写出正确分布列表格的扣4分) 的数学期望为 (12分)
21.(1)正视图如图所示.(注：不标中间实线扣1分)………………2分
(2)证明：俯视图和侧视图，得 ，
, ， ， ， 平面 ,
.取 的中点 ，连接 、 ，
则 ，且 …4分
∴ 平行且等于 , ∴四边形EAFM是平行四边形，
∴ ，又 平面 ，
∴ 平面 .…………………………7分
(3)解，以 为原点，以 的方向为 轴的正方向， 的方
向为 轴正方向， 的方向为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有 (0，0，0)， (0，0，2)， (0，2，0)，
(-2，0，3)， (0，2，1)， (-2，0，0).
设 (-2，-2，2)， (0，-2，1)，
(2，2，0)， (2，2，1).
假设在 边上存在点 满足题意，
∴边 上存在点 ，满足 时， ⊥平面 ………………12分
22. (I)解：依题意，直线 显然不平行于坐标轴，故
将 ，
得 ①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点
，即 … 5分
(II)解：设 由①，得
因为 ，代入上式，得 ……………8分
于是，△ 的面积
其中，上式取等号的条件是
由
将 这两组值分别代入①，均可解出
所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 ………12分
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