2015公共基础知识复习资料（2）
1.4树与二叉树
考点7 树与二叉树及其基本性质
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考点7在笔试考试中，是一个必考的内容，在笔试考试中出现的几率为100%，主要是以选择的形式出现，有时也有出现在填空题中，分值为2分，此考点为重点掌握内容。重点识记树及二叉树的性质。
误区警示：
满二叉树也是完全二叉树，而完全二叉树一般不是满二叉树。应该注意二者的区别。
1、树的基本概念
树(tree)是一种简单的非线性结构。在树结构中，每一个结点只有一个前件，称为父结点，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点。每一个结点可以有多个后件，它们称为该结点的子结点。没有后件的结点称为叶子结点。
在树结构中，一个结点所拥有的后件个数称为该结点的度。叶子结点的度为0。在树中，所有结点中的最大的度称为树的度。
2、二叉树及其基本性质
(1)二叉树的定义
二叉树是一种很有用的非线性结构，具有以下两个特点：
①非空二叉树只有一个根结点;
②每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树和右子树。
由以上特点可以看出，在二叉树中，每一个结点的度最大为2，即所有子树(左子树或右子树)也均为二叉树，而树结构中的每一个结点的度可以是任意的。另外，二叉树中的每个结点的子树被明显地分为左子树和右子树。在二叉树中，一个结点可以只有左子树而没有右子树，也可以只有右子树而没有左子树。当一个结点既没有左子树也没有右子树时，该结点即为叶子结点。
(2)二叉树的基本性质
二叉树具有以下几个性质：
性质1：在二叉树的第k层上，最多有2k-1(k≥1)个结点;
性质2：深度为m的二叉树最多有2m-1个结点;
性质3：在任意一棵二叉树中，度为0的结点(即叶子结点)总是比度为2的结点多一个。
性质4：具有n个结点的二叉树，其深度至少为[log2n]+1，其中[log2n]表示取log2n的整数部分。
小技巧：在二叉树的遍历中，无论是前序遍历，中序遍历还是后序遍历，二叉树的叶子结点的先后顺序都是不变的。
3、满二叉树与完全二叉树
满二叉树是指这样的一种二叉树：除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点。在满二叉树中，每一层上的结点数都达到最大值，即在满二叉树的第k层上有2k-1个结点，且深度为m的满二叉树有2m-1个结点。
完全二叉树是指这样的二叉树：除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值;在最后一层上只缺少右边的若干结点。
对于完全二叉树来说，叶子结点只可能在层次最大的两层上出现：对于任何一个结点，若其右分支下的子孙结点的最大层次为p，则其左分支下的子孙结点的最大层次或为p，或为p+1。
完全二叉树具有以下两个性质：
性质5:具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1。
性质6:设完全二叉树共有n个结点。如果从根结点开始，按层次(每一层从左到右)用自然数1，2，……，n给结点进行编号，则对于编号为k(k=1，2，……，n)的结点有以下结论：
①若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点;若k>1，则该结点的父结点编号为INT(k/2)。
②若2k≤n，则编号为k的结点的左子结点编号为2k;否则该结点无左子结点(显然也没有右子结点)。
③若2k+1≤n，则编号为k的结点的右子结点编号为2k+1;否则该结点无右子结点。
考点8 二叉树的遍历
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考点8在笔试考试中考核几率为30%，分值为2分，读者应该熟练掌握各种遍历的具体算法，能由两种遍历的结果推导另一种遍历的结果。
在遍历二叉树的过程中，一般先遍历左子树，再遍历右子树。在先左后右的原则下，根据访问根结点的次序，二叉树的遍历分为三类：前序遍历、中序遍历和后序遍历。
(1)前序遍历：先访问根结点、然后遍历左子树，最后遍历右子树;并且，在遍历左、右子树时，仍然先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。
(2)中序遍历：先遍历左子树、然后访问根结点，最后遍历右子树;并且，在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。
(3)后序遍历：先遍历左子树、然后遍历右子树，最后访问根结点;并且，在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。
疑难解答：树与二叉树的不同之处是什么?
在二叉树中，每一个结点的度最大为2，即所有子树(左子树或右子树)也均为二叉树，而树结构中的每一个结点的度可以是任意的。
1.5查找技术
考点9 顺序查找
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考点9在笔试考试中考核几率在30%，一般出现选择题中，分值为2分，读者应该具体掌握顺序查找的算法。
查找是指在一个给定的数据结构中查找某个指定的元素。从线性表的第一个元素开始，依次将线性表中的元素与被查找的元素相比较，若相等则表示查找成功;若线性表中所有的元素都与被查找元素进行了比较但都不相等，则表示查找失败。
在下列两种情况下也只能采用顺序查找：
(1)如果线性表为无序表，则不管是顺序存储结构还是链式存储结构，只能用顺序查找。
(2)即使是有序线性表，如果采用链式存储结构，也只能用顺序查找。
考点10 二分法查找
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考点10在笔试考试中考核几率为30%，一般出现填空题中，分值为2分，考核比较多查找的比较次数，读者应该具体掌握二分查找法的算法。
二分法只适用于顺序存储的，按非递减排列的有序表，其方法如下：
设有序线性表的长度为n，被查找的元素为i，
(1)将i与线性表的中间项进行比较;
(2)若i与中间项的值相等，则查找成功;
(3)若i小于中间项，则在线性表的前半部分以相同的`方法查找;
(4)若i大于中间项，则在线性表的后半部分以相同的方法查找。
疑难解答：二分查找法适用于哪种情况?
二分查找法只适用于顺序存储的有序表。在此所说的有序表是指线性表中的元素按值非递减排列(即从小到大，但允许相邻元素值相等)。
这个过程一直进行到查找成功或子表长度为0为止。
对于长度为n的有序线性表，在最坏情况下，二分查找只需要比较log2n次。
1.6排序技术
考点11 交换类排序法
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考点11属于比较难的内容，一般以选择题的形式考查，考核几率为30%，分值约为2分，读者应该熟练掌握几种排序算法的基本过程。
冒泡排序法和快速排序法都属于交换类排序法。
(1)冒泡排序法
首先，从表头开始往后扫描线性表，逐次比较相邻两个元素的大小，若前面的元素大于后面的元素，则将它们互换，不断地将两个相邻元素中的大者往后移动，最后最大者到了线性表的最后。
然后，从后到前扫描剩下的线性表，逐次比较相邻两个元素的大小，若后面的元素小于前面的元素，则将它们互换，不断地将两个相邻元素中的小者往前移动，最后最小者到了线性表的最前面。
对剩下的线性表重复上述过程，直到剩下的线性表变空为止，此时已经排好序。
在最坏的情况下，冒泡排序需要比较次数为n(n-1)/2。
(2)快速排序法
它的基本思想是：任取待排序序列中的某个元素作为基准(一般取第一个元素)，通过一趟排序，将待排元素分为左右两个子序列，左子序列元素的排序码均小于或等于基准元素的排序码，右子序列的排序码则大于基准元素的排序码，然后分别对两个子序列继续进行排序，直至整个序列有序。
疑难解答：冒泡排序和快速排序的平均执行时间分别是多少?
冒泡排序法的平均执行时间是O(n2)，而快速排序法的平均执行时间是O(nlog2n)。
1.7 例题详解
一、选择题
【例1】算法的时间复杂度取决于_______。(考点2)
A)问题的规模 B)待处理的数据的初态
C)问题的难度 D)A)和B)
解析：算法的时间复杂度不仅与问题的规模有关，在同一个问题规模下，而且与输入数据有关。即与输入数据所有的可能取值范围、输入各种数据或数据集的概率有关。
答案：D)
【例2】在数据结构中，从逻辑上可以把数据结构分成_______。(考点3)
A)内部结构和外部结构 B)线性结构和非线性结构
C)紧凑结构和非紧凑结构 D)动态结构和静态结构
解析：逻辑结构反映数据元素之间的逻辑关系，线性结构表示数据元素之间为一对一的关系，非线性结构表示数据元素之间为一对多或者多对一的关系，所以答案为B)。
答案：B)
【例3】以下_______不是栈的基本运算。(考点5)
A)判断栈是否为素空 B)将栈置为空栈
C)删除栈顶元素 D)删除栈底元素
解析：栈的基本运算有：入栈，出栈(删除栈顶元素)，初始化、置空、判断栈是否为空或满、提取栈顶元素等，对栈的操作都是在栈顶进行的。
答案：D)
【例4】链表不具备的特点是_______。(考点6)
A)可随机访问任意一个结点 B)插入和删除不需要移动任何元素
C)不必事先估计存储空间 D)所需空间与其长度成正比
解析：顺序表可以随机访问任意一个结点，而链表必须从第一个数据结点出发，逐一查找每个结点。所以答案为A)。
答案：A)
【例5】已知某二叉树的后序遍历序列是DACBE，中序遍历序列是DEBAC，则它的前序遍历序列是_______。(考点8)
A)ACBED B)DEABC
C)DECAB D)EDBAC
解析：后序遍历的顺序是"左子树-右子树-根结点";中序遍历顺序是"左子树-根结点-右子树";前序遍历顺序是"根结点-左子树-右子树"。根据各种遍历算法，不难得出前序遍历序列是EDBAC。所以答案为D)。
答案：D)
【例6】设有一个已按各元素的值排好序的线性表(长度大于2)，对给定的值k，分别用顺序查找法和二分查找法查找一个与k相等的元素，比较的次数分别是s和b，在查找不成功的情况下，s和b的关系是_______。(考点9)
A)s=b B)s>b C)s
解析：对于顺序查找，查找不成功时和给定关键字比较的次数为n+1。二分查找查找不成功的关键字比较次数为[log2n]+1。当n≥2时，显然n+1>[log2n]+1。
答案：B)
【例7】在快速排序过程中，每次划分，将被划分的表(或子表)分成左、右两个子表，考虑这两个子表，下列结论一定正确的是_______。(考点11)
A)左、右两个子表都已各自排好序
B)左边子表中的元素都不大于右边子表中的元素
C) 左边子表的长度小于右边子表的长度
D)左、右两个子表中元素的平均值相等
解析：快速排序基本思想是：任取待排序表中的某个元素作为基准(一般取第一个元素)，通过一趟排序，将待排元素分为左右两个子表，左子表元素的排序码均小于或等于基准元素的排序码，右子表的排序码则大于基准元素的排序码，然后分别对两个子表继续进行排序，直至整个表有序。
答案：B)
二、填空题
【例1】问题处理方案的正确而完整的描述称为_______。(考点1)
解析：计算机解题的过程实际上是在实施某种算法，这种算法称为计算机算法。
答案：算法
【例2】一个空的数据结构是按线性结构处理的，则属于_______。(考点4)
解析：一个空的数据结构是线性结构或是非线性结构，要根据具体情况而定。如果对数据结构的运算是按线性结构来处理的，则属于线性结构，否则属于非线性结构。
答案：线性结构
【例3】设树T的度为4，其中度为1、2、3和4的结点的个数分别为4、2、1、1，则T中叶子结点的个数为_______。(考点7)
解析：根据树的性质：树的结点数等于所有结点的度与对应的结点个数乘积之和加1。
因此树的结点数为1×4+2×2+3×1+4×1+1=16。叶子结点数目等于树结点总数减去度不为0的结点数之和，即16-(4+2+1+1)=8。
答案：8
【例4】二分法查找的存储结构仅限于_______且是有序的。(考点10)
解析：二分查找，也称折半查找，它是一种高效率的查找方法。但二分查找有条件限制：要求表必须用顺序存储结构，且表中元素必须按关键字有序(升序或降序均可)。
答案：顺序存储结构
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